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初中数学三角形全等：性质判定及辅助线

2019-10-14 10:15

来源：网络

作者：南昌新东方

三角形全等的性质判定及辅助线技巧
三角形全等的判定
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
找全等三角形的条件
(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：
图片名称 1
缺条边的条件：
图片名称2
构造辅助线的常用方法
1.关于角平分线的辅助线
当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：
①角平分线具有对称性；
②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：
(1)截取构全等
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等
(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形
(4)作平行线构造等腰三角形
2.由线段和差想到的辅助线
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。
3.由中点想到的辅助线
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
(2)倍长中线
已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。
4.其他辅助线做法
(1)延长已知边构造三角形
在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．
(2)连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
(3)连接已知点，构造全等三角形
(4)取线段中点构造全等三角形
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