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2021-05-31 15:47
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【导读】以下内容是关于中考数学的易错点,各位考生可以参考学习。
一.方差的概念与计算公式
例1两人的5次测验成绩如下:
X:50,100,100,60,50E(X)=72;
Y:73,70,75,72,70E(Y)=72。
平均成绩相同,但X不稳定,对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值,记为D(X):
直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
这里是一个数。推导另一种计算公式
得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中,分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差,方差描述波动
二.方差的性质
1.设C为常数,则D(C)=0(常数无波动);
2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
证:
特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值)
3.若X、Y相互独立,则
证:记
则
前面两项恰为D(X)和D(Y),第三项展开后为
当X、Y相互独立时,
,
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和,可推广到有限项。
方差公式:
平均数:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)
方差公式:S²=〈(M-x1)²+(M-x2)²+(M-x3)²+…+(M-xn)²〉╱n
三.常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布
X~B(n,p)
引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数,服从两点分布)
,
3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布
另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
7.t分布:其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~
正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律,计算得到
工人乙废品数少,波动也小,稳定性好。
方差的定义:
设一组数据x1,x2,x3······xn中,各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)²,(x2-x拔)²······(xn-x拔)²,那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)²+(x2-x拔)²+·····(xn-x拔)²】来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。
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