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高中数学排列组合问题的解题技巧

2019-10-28 11:17

来源：网络

作者：南昌新东方

排列组合问题的解题技巧

排列组合是高中数学的重要内容，在高中数学考试中常以选择、填空题的形式出现。虽然总体难度不高，但是对于同学们的逻辑思维能力与审题能力都提出了较高的要求，许多同学容易在解题时出现问题。要高效准确的解答排列组合类问题，同学们应当拥有正确分析问题的能力。首先，应当就问题本身的性质进行判断，确定其属于排列问题、组合问题以及混合式问题中的哪一类。其次，在确定解题模式时，应当明确实际问题是建立在加法或者乘法原理基础上的，从而针对性的进行问题解决方式的确定。最后，应当就题目中的附加条件进行分析，明确附加条件是否就元素位置进行了限定，避免在解答问题时出现答案的重复或者遗漏，保证解题的准确性。

直接法

直接法在问题解决中的应用主要是指重点就题目中的各个元素进行分析，以限定元素要求为限制基础，之后再就其他多种元素问题进行考虑。或者在问题解决中将位置因素作为主要的考虑条件，首先确定限定位置的具体要求，再就其他条件进行考虑。

例1：

教师在就某班级的生物、语文、物理以及化学课程进行课程表安排，根据要求，物理课程不能被安排在第2或者第3节课上，试计算能有多少种课程安排方式？

解析：
根据已知条件可知，题目中已经将物理课程的安排进行了限制，要求其不能被安排在第2或者第3节课。所以在解答问题时首先要对物理课程的安排进行考虑，明确其仅仅只能安排在第1或者第4节课，因此物理课程的安排方式为C12种。之后，再就其他课程的安排进行考虑，就可按照随机排列的方式进行排列，具体有A33种方式。然后就可利用乘法原理来计算得出总体的排课方式为C12A33=12（种）方式。

间接法

利用间接法解决排列组合问题，主要是指在实际问题分析时首先忽略题目中给出的附加条件，就整体的排列组合数量进行计算。在这之后再利用附加条件来计算得出不符合题目要求的数量，然后通过前后相减的方式得出问题的具体答案。
例2：
要从5名男生与4名女生中挑选出3名学生参加跳绳比赛，要保证挑选出的3名学生中同时含有男生与女生，试计算有多少种组合方式可供选择。
解析：
在解答该问题时，若选择直接方式可能会存在着一定的难度，所以可选择间接解决法进行计算。首先忽略题目中给出的必须包含男生与女生的条件，将其视为从9名学生中挑选出3名学生的情况，可知选择方式为C39种情况。之后再以限制条件为基础来明确选择的3名学生中仅含有男生或仅含有女生的都是错误的，分别计算出这两种不符合规定的方案的数量。即仅含有女生的选择方式有C34种，而仅含有男生的选择方式有C35种。根据减法原理可以得出符合题目要求的选择方式的数量为C39－C34－C35=70（种）。

捆绑法

捆绑法是解决复杂的排列组合问题的有效措施，在利用该方法解答问题时，应当明确该方式所针对的问题处理对象为当多个元素相邻的情况下的排列。在该方式的运用时要严格遵循以下步骤：首先将所有相邻的元素进行捆绑，并将其看做单独的元素，使其与其他元素形成排列关系。之后再将捆绑后的整体元素中的各个分元素展开排列，最终得到问题的答案。
例3：
在编制彩带的活动中，某学生选择了8种颜色的线作为编制材料。在进行颜色排布安排时，该学生想要把粉色与绿色的组合色与蓝色安排在一起，其他颜色随机，试计算有多少种颜色组合的方式。
解析：
在解答该问题时，可选择捆绑法。首先将已经确定的3种颜色看作是同一个整体，使其和其他5种颜色进行排列，则总排列方式为A66种。根据题意可知，组合色的排列方式为A22种，利用乘法原理计算可知总排列方式为A66A22种。
在面临排列组合问题时，有些同学可能会存在着一定的困难，造成解题失误。要克服这个难题，同学们需要在巩固基础知识的基础上，加强相关习题的练习。在练习过程中应当采取正确的方式进行相关问题分析，判断其属于排列与组合问题中的哪一类。之后再根据实际情况选择直接法、间接法、捆绑法以及插空法等多种解题方式进行问题解决。

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